Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中项．
（1）求a₁；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n=$\frac{19}{20}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n-a₁，当n≥2时，足S_n-1=2a_n-1-a₁，两式相减a_n=2a_n-1，由$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中项．得4a₁=a₁•2a₁，求得a₁=2，
（2）由（1）可知，求得数列{a_n}的通项公式，代入求得数列{b_n}通项公式，b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂项法”求得T_n=$\frac{n}{n+1}$，由T_n=$\frac{19}{20}$，解得n的值．

解答 解：（1）S_n=2a_n-a₁，
当n≥2时，足S_n-1=2a_n-1-a₁，
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，（n≥2），
∵$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中项，
∴a₃=a₁•a₂，
∴4a₁=a₁•2a₁，
解得：a₁=2，
∴a₁=2，
（2）由（1）可知：数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
T_n=$\frac{n}{n+1}$=$\frac{19}{20}$，
解得n=19，
n的值19．

点评 本题考查求数列的通项公式及前n项和公式，等比数列等比中项的性质，“裂项法”求数列的前n项和，属于中档题．