Question

19．已知关于x的方程x²+2mx+2m+1=0满足下列条件时，m的取值范围．
（1）方程的两根都大于1；
（2）方程的两根一个比1大，一个比1小．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²+2mx+2m+1，则由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}{-m＞1}\\{△{=（2m）}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=1+2m+2m+1＞0}\end{array}\right.$，由此求得m的范围．
（2）根据f（1）=4m+2＜0，求得m的范围．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+2mx+2m+1=0的两根都大于1，令f（x）=x²+2mx+2m+1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-m＞1}\\{△{=（2m）}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=1+2m+2m+1＞0}\end{array}\right.$，求得m∈∅，即不存在实数m，使方程的两根都大于1．
（2）方程x²+2mx+2m+1=0的两根一个比1大，一个比1小，则f（1）=4m+2＜0，求得m＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．