Question

10．（1）若a是正实数，2a²+3b²=10，求a$\sqrt{2+{b}^{2}}$的最大值．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a是正实数，2a²+3b²=10，变形为2a²+3（b²+2）=16，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用$（\sqrt{a+\frac{1}{2}}+\sqrt{b+1}）^{2}$≤2$（a+\frac{1}{2}+b+1）$，即可得出．

解答 解：（1）∵a是正实数，2a²+3b²=10，变形为2a²+3（b²+2）=16，∴16≥2$\sqrt{2{a}^{2}×3（{b}^{2}+2）}$=$2\sqrt{6}$$•a\sqrt{{b}^{2}+2}$，可得a$\sqrt{2+{b}^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，当且仅当2a²=3（b²+2）=8，即a=2，b²=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴a$\sqrt{2+{b}^{2}}$的最大值为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
（2）∵$（\sqrt{a+\frac{1}{2}}+\sqrt{b+1}）^{2}$≤2$（a+\frac{1}{2}+b+1）$=5，∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$$≤\sqrt{5}$．当且仅当a+$\frac{1}{2}$=b+1=$\frac{5}{4}$，即a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$时取等号，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+1}$的最大值是$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．