Question

18．直线l被双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1截得的弦长为3$\sqrt{2}$，且l的斜率为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=2x+t，代入双曲线的方程，消去y，可得x的二次方程，运用判别式大于0和韦达定理、弦长公式，计算即可得到所求直线方程．

解答 解：设直线l的方程为y=2x+t，
代入双曲线2x²-3y²=6，可得：
10x²+12tx+3t²+6=0，
设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
△=144t²-40（3t²+6）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{6t}{5}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}+6}{10}$，
可得弦长为$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{25}-\frac{4（3{t}^{2}+6）}{10}}$=3$\sqrt{2}$，
解得t=±5．满足判别式大于0．
则直线l的方程为y=2x±5．

点评 本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．