Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+a-1），（x＞1）}\\{（2a-1）x-a，（x≤1）}\end{array}\right.$满足对于任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2）
• C． （1，2]
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，得函数为增函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．

解答 解：∵f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，
∴函数f（x）在定义域上为增函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{2a-1＞0}\\{2a-1-a≤lo{g}_{a}（1+a-1）}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2，
故选：C．

点评 本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．