Question

11．等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q（q≠1），且a₁+a₂=12-q，S₂=b₂•q．
（I）求a_n与b_n．
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可知q²+q-12=0，解得q=3，d=6-q，求得d，根据等差数列及等比数列通项公式，即可求得a_n与b_n；
（2）由（1）可知，求得数列{a_n}前n项和为S_n，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂项法”即可求得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的公差为d，
a₁+a₂=12-q，S₂=b₂•q．
∴d=6-q，
∴12-q=b₁•q²，
整理得：q²+q-12=0，解得：q=3或q=-4（舍去），
∴d=3，
a_n=3+3（n-1）=3n，
∴b_n=3^n-1，
（2）数列{a_n}前n项和为S_n，S_n=$\frac{（3+3n）n}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n，
T_n=$\frac{2}{3}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{3（n+1）}$，
数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{2n}{3（n+1）}$．

点评 本题考查求数列的通项公式，等差数列前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．