Question

9．已知a≥0，b≥0，a+b=1，求a⁴+b⁴的范围$[\frac{1}{8}，1]$．

Answer 1

分析 a≥0，b≥0，a+b=1，又（a+b）²≤2（a²+b²），（a²+b²）²≤2（a⁴+b⁴），可得a⁴+b⁴≥$\frac{1}{8}$，另一方面a⁴+b⁴≤（a+b）⁴，即可得出a⁴+b⁴的范围．

解答 解：∵a≥0，b≥0，a+b=1，
又（a+b）²≤2（a²+b²），（a²+b²）²≤2（a⁴+b⁴），
∴a⁴+b⁴≥$\frac{1}{8}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
又a⁴+b⁴≤（a+b）⁴=1，当a=1，b=0或a=0，b=1时取等号．
∴a⁴+b⁴的范围是$[\frac{1}{8}，1]$．
故答案为：$[\frac{1}{8}，1]$．

点评 本题考查了不等式的基本性质、重要不等式的性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．