Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
①当a=

1

2

时，求函数在[1，e]上的最大值和最小值；
②讨论函数的单调性；
③若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx-2对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：①当a=

1

2

时f（x）=

1

2

x-1-lnx，然后求导利用导数求函数的极值，然后与区间端点的函数值进行比较，从而可求出函数的最大值和最小值；
②求函数的导数，通过讨论参数的取值，令f'（x）＞0，可求出函数的增区间，令f'（x）＜0，从而确定函数的单调减区间；
③利用函数在x=1处取得极值，建立方程求的a，然后把不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求最值．

解答：解：①当a=

1

2

时f（x）=

1

2

x-1-lnx，f′(x)=

1

2

-

1

x

，由f′(x)=

1

2

-

1

x

=0，得x=2．
当x＞2时，f'（x）＞0，当0＜x＜2时，f'（x）＜0．因为x∈[1，e]，所以f（x）_极小值=f（x）_min=f（2）=-ln2
又f(1)=-

1

2

，f(e)=

e

2

-2=

e-4

2

＜-

1

2

，所以函数在[1，e]上的最大值是-

1

2

，最小值是-ln2．
②f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)
当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞

1

a

，由f'（x）＜0得x＜

1

a

，所以f（x）在（0，

1

a

）上单调递减．在（

1

a

，+∞）上单调递增．
当a=0时，f'（x）=-

1

x

＜0恒成立．所以f（x）在（0，+∞）为减函数
当a＜0时，f'（x）=

ax-1

x

＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．
综上，当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在(

1

a

，+∞)单调递增，
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减
③f′(x)=a-

1

x

，依题意：f'（1）=a-1=0，a=1，所以f（x）=x-1-lnx
又f（x）≥bx-2对?x∈（0，+∞）恒成立恒成立．
即x-1-lnx≥bx-2，所以b≤

1

x

+1-

ln?x

x

在x∈（0，+∞]上恒成立
令g(x)=

1-lnx

x

+1，x＞0，则g′(x)=

-2+ln?x

x2

当0＜x＜e²时，g'（x）＜0．当x＞e²时，g'（x）＞0，
所以当x=e²时，g(e2)min=1-

1

e2

，所以b≤1-

1

e2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．