Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n=

an-1

1+an-1

，则

lim

n→∞

（a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=

an-1

1+an-1

，得：

1

an

-

1

an-1

=1，由此得数列{

1

an

}是以首项

1

a1

=1，公差d=1的等差数列，可求得a_n=

1

n

，a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

n

n+1

，故可求得结论．

解答： 解：由a_n=

an-1

1+an-1

，得：

1

an

-

1

an-1

=1，
∴数列{

1

an

}是以首项

1

a1

=1，公差d=1的等差数列，
∴

1

an

=n，a_n=

1

n

，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴

lim

n→∞

（a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1）=

lim

n→∞

n

n+1

=1．
故答案为1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．