Question

8．下面给出四个命题的表述：
①直线（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）恒过定点（-3，3）；
②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x²+y²=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1
③已知M={（x，y）|y=$\sqrt{1-{x^2}}$}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
④已知圆C：（x-b）²+（y-c）²=a²（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．
其中表述正确的是①②④（ （填上所有正确结论对应的序号）

Answer 1

分析 ①将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可，
②设出M和A点的坐标，由中点坐标公式得到两点坐标的关系，把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后整理得答案．
③画出两函数图象，抓住两个关键点，一是直线过点A；一是直线与圆相切，求出相应b的值，即可确定出两集合不为空集时b的范围．
④根据直线与x轴相交，与y轴相离，建立，a，b，c的关系，结合直线的交点坐标进行判断即可．

解答 解：①直线（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y-3=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3=0}\\{3x+4y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即直线恒过定点（-3，3）；故①正确，
②设AB的中点M（x，y），A（x₁，y₁），
又B（3，4），由中点坐标公式得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+3}{2}=x}\\{\frac{{y}_{1}+4}{2}=y}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-3}\\{{y}_{1}=2y-4}\end{array}\right.$．
∵点A在圆x²+y²=4上运动，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4$．
即（2x-3）²+（2y-4）²=4，整理得：${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1．
∴线段AB的中点M的轨迹为${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1，故②正确，
③集合M表示圆心为原点，半径为1的上半圆，集合N表示直线y=x+b，如图所示，
当直线y=x+b过A点时，把A（1，0）代入得：b=-1；
当直线y=x+b与圆相切，且切点在第二象限时，
圆心到直线的距离d=r，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，即b=$\sqrt{2}$（负值舍去），
则M∩N≠∅时，实数b的范围是[-1，$\sqrt{2}$]．故③错误，
④解：由圆C：（x-b）²+（y-c）²=a²（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，
∵圆C与x轴相交，与y轴相离，
∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b-a＞0，a-c＞0，
联立两直线方程得：$\left\{\begin{array}{l}{ax+by+c=0①}\\{x+y+1=0②}\end{array}\right.$，
由②得：x=-y-1，代入①得：a（-y-1）+by+c=0，
整理得：（b-a）y=a-c，
解得：y=$\frac{a-c}{b-a}$，
∵-a＞0，a-c＞0，
∴$\frac{a-c}{b-a}$＞0，即y＞0，
∴x=-y-1＜0，
则两直线的交点在第二象限．故④正确，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，有一定的难度．