Question

已知函数cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值7，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：通过平方关系结合换元法，配方法得f（t）=-t²+at-a²+2a+6，对a分a＜-2，-2≤a≤2，a＞2讨论，结合二次函数的最值，即可求出a的值．

解答： 解：y=1-sin²x+asinx-a²+2a+5，令sinx=t，
则y=f（t）=-t²+at-a²+2a+6，t∈[-1，1]，对称轴为t=

a

2

，
当

a

2

＜-1时，即a＜-2，y_max=f（-1）=-a²+a+5=7，△＜0，方程无解；
当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2，y_max=f（

a

2

）=-

3

4

a²+2a+6=7，此时a=2或

2

3

．
当

a

2

＞1时，即a＞2，y_max=f（1）=-a²+3a+5=7，此时a=1或2，均不成立．
所以a=2或

2

3

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的最值的应用，考查分类讨论思想，配方法的应用，注意三角函数的有界性，是本题的关键．