Question

4．已知定义在R上的函数f（x）周期为2，且满足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+a，-1≤x＜0\\|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1\end{array}\right.$，若$f（-\frac{5}{2}）=f（\frac{9}{2}）$，则f（5a）=（　　）

• A． $\frac{7}{16}$
• B． $-\frac{2}{5}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 由题意，f（x）在R上周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．则f（$-\frac{5}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}$+a．
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，根据$f（-\frac{5}{2}）=f（\frac{9}{2}）$，求出a，即可求f（5a）的值．

解答 解：由题意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+a，-1≤x＜0\\|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1\end{array}\right.$，
f（x）在R上周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．
∴f（$-\frac{5}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}$+a．
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，
∵$f（-\frac{5}{2}）=f（\frac{9}{2}）$，即$-\frac{1}{2}$+a=$\frac{1}{10}$，
可得a=$\frac{3}{5}$
则f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1+$\frac{3}{5}$=$-\frac{2}{5}$．
故选B

点评 本题主要考查函数周期的求解，根据条件推导f（x+T）=f（x）的形式是解决本题的关键．