Question

14．己知函数f（x）=a²+x²-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=e，b=4时，求函数f（x）零点个数
（Ⅱ）若b=1，求f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=e^x+2x-1，f′（0）=0，由导数性质得f（x）是（0，+∞）上的增函数，是（-∞，0）上的减函数，由此能求出f（x）的零点个数．
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）_max-f（x）_min≥e-1，f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由导数性质得f（x）是[-1，0]上的减函数，[0，1]上的增函数，由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x+x²-x-4，
∴f′（x）=e^x+2x-1，∴f′（0）=0，
当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）＞0，故f（x）是（0，+∞）上的增函数，
当x＜0时，e^x＜1，∴f′（x）＜0，
故f（x）是（-∞，0）上的减函数，…（3分）
f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，
∴存在x₁∈（1，2）是f（x）在（0，+∞）上的唯一零点，
$f（-2）=\frac{1}{{e}^{2}}+2＞0，f（-1）=\frac{1}{e}-2＜0$，
∴存在x₂∈（-2，-1）是f（x）在（-∞，0）上的唯一零点，
∴f（x）的零点个数为2…（6分）
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）_max-f（x）_min≥e-1，
f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
当x＞0时，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f′（x）＞0；
当x＜0时，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，
∴f'（x）＜0；当x=0时，f′（x）=0，
∴f（x）是[-1，0]上的减函数，[0，1]上的增函数..…（8分）
∴当x∈[-1，1]时，f（x）_min=f（0），f（x）_max为f（-1）和f（1）中的较大者.$而f（1）-f（-1）=a-\frac{1}{a}-2lna，设g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx（x＞0）$，∵${g}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}={（\frac{1}{x}-1）}^{2}≥0（当且仅当x=1时等号成立）$，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
∴$当t＞1时，g（x）＞0即a＞1时，a-\frac{1}{a}-2lna≥0$，
∴f（1）＞f（-1）．…（10分）
∴f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1=e-lne，
设h（a）=a-lna（a＞1），∴h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，+∞）递增，∴a≥e，即a的取值范围是[e，+∞）．…（12分）

点评 本题考查函数的零点个数的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．