Question

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

(1);(2) .

解析试题分析：(1)由抛物线的焦点求的双曲线的焦点坐标，再由求得点坐标，再结合双曲线的定义可得双曲线的方程；（2）首先利用直线与圆相切求得圆，再利用弦长公式求弦长，化简求值即可，需注意直线的形式，有无斜率需考虑.
试题解析：（1）∵抛物线的焦点为，
∴双曲线的焦点为、，                  1分
设在抛物线上，且，
由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，          3分
∴，                  4分
又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：
，∴， ∴双曲线的方程为：．            6分
（2）为定值．下面给出说明．
设圆的方程为：， ∵圆与直线相切，
∴圆的半径为，故圆：．             7分
显然当直线的斜率不存在时不符合题意，                  8分
设的方程为，即，
设的方程为，即，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离为，                  10分
∴直线被圆截得的弦长，           11分
直线被圆截得的弦长，           12分
∴， 故为定值．             14分
考点：1.圆锥曲线的定义；2.直线与圆的方程；3.直线与圆的位置关系.