在平面直角坐标系中,经过点的动直线,与椭圆:()相交于,两点. 当轴时,,当轴时,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若的中点为,且,求直线的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ)或.
解析试题分析:(Ⅰ)利用已知条件确定、的值,进而求出椭圆的方程;(Ⅱ)解法一是逆用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质,由得到为直角三角形,且为斜边,于是得到,借助韦达定理与向量的有关知识确定直线的方程;解法二是直接设直线的方程,直接从问题中的等式出发,借助韦达定理与弦长公式确定直线的方程.
试题解析:解法一:(Ⅰ)当轴时,,
当轴时,,得,
解得,.
所以椭圆的方程为:. 5分
(Ⅱ)设直线,与方程联立,得.
设,,则, .①
因为,即,
所以,即, 8分
所以,则,
将①式代入并整理得:,解出,
此时直线的方程为:,即,. 12分
解法二:(Ⅰ)同解法一 5分
(Ⅱ)设直线:,与联立,得.(﹡)
设,,则,.
从而
. 8分
设,则,.
由得:,
整理得,即,
即,解得,从而.
故所求直线的方程为:,
即和. 12分
考点:椭圆的方程、韦达定理、弦长公式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,
(Ⅰ)设直线的斜率分别为,求证:为定值;
(Ⅱ)求线段的长的最小值;
(Ⅲ)当点运动时,以为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
极坐标系中椭圆C的方程为
以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度.
(Ⅰ)求该椭圆的直角标方程;若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;
(Ⅱ)若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,
求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C:的半径等于椭圆E:(a>b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆C内,且到直线l:y=x-的距离为-,点M是直线l与圆C的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且.
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆:.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为,被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,点是椭圆()的左焦点,点,分别是椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的离心率为,点在轴上,且,过点作斜率为的直线与由三点,,确定的圆相交于,两点,满足.
(1)若的面积为,求椭圆的方程;
(2)直线的斜率是否为定值?证明你的结论.
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