已知椭圆C的方程为,其离心率为,经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:与椭圆C交于A、B两点,P为椭圆上的点,O为坐标原点,且满足,求的取值范围.
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已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且.
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆:.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为,被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。
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已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,△AF1F2为正三角形,且以线段F1F2为直径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率e;
(Ⅱ)若点P为焦点F1关于直线的对称点,动点M满足. 问是否存在一个定点T,使得动点M到定点T的距离为定值?若存在,求出定点T的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
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如图,点是椭圆()的左焦点,点,分别是椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的离心率为,点在轴上,且,过点作斜率为的直线与由三点,,确定的圆相交于,两点,满足.
(1)若的面积为,求椭圆的方程;
(2)直线的斜率是否为定值?证明你的结论.
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定义:设分别为曲线和上的点,把两点距离的最小值称为曲线到的距离.
(1)求曲线到直线的距离;
(2)已知曲线到直线的距离为,求实数的值;
(3)求圆到曲线的距离.
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已知椭圆:的右焦点在圆上,直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若OM⊥ON(为坐标原点),求的值;
(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为(与不重合),且直线与轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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