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已知椭圆C的方程为,其离心率为,经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:与椭圆C交于A、B两点,P为椭圆上的点,O为坐标原点,且满足,求的取值范围.

(Ⅰ). (Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)由已知可得
所以

解之得
故椭圆的方程为.       5分
(Ⅱ) 由消y化简整理得:
 ①  
点的坐标分别为
         8分
由于点在椭圆上,所以
从而,化简得,经检验满足①式.

 
因为,得3≤4k2+3≤4,
≤1,故        12分
考点:椭圆的标准方程,平面向量的线性运算,直线与椭圆的位置关系。
点评:中档题,确定圆锥曲线的标准方程,往往利用几何特征,确定a,b,c,e得到关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题利用韦达定理,简化了计算过程。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知,曲线上任意一点分别与点连线的斜率的乘积为
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设直线轴、轴分别交于两点,若曲线与直线没有公共点,求证:

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已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线,设被圆截得的弦长为被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.

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已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,△AF1F2为正三角形,且以线段F1F2为直径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率e;
(Ⅱ)若点P为焦点F1关于直线的对称点,动点M满足. 问是否存在一个定点T,使得动点M到定点T的距离为定值?若存在,求出定点T的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

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已知椭圆的左右焦点坐标分别是,离心率,直线与椭圆交于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求弦的长度.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,点是椭圆)的左焦点,点分别是椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的离心率为,点轴上,且,过点作斜率为的直线与由三点,确定的圆相交于两点,满足

(1)若的面积为,求椭圆的方程;
(2)直线的斜率是否为定值?证明你的结论.

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定义:设分别为曲线上的点,把两点距离的最小值称为曲线的距离.
(1)求曲线到直线的距离;
(2)已知曲线到直线的距离为,求实数的值;
(3)求圆到曲线的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的右焦点在圆上,直线交椭圆于两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若OM⊥ON(为坐标原点),求的值;
(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为不重合),且直线轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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