Question

已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若OM⊥ON(为坐标原点)，求的值；
(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）
(3) 的面积存在最大值

解析试题分析：解(Ⅰ) 由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，
故圆与轴交与两点，.……………1分
所以，在椭圆中或，又，
所以，或 (舍去，∵),    3分
于是，椭圆的方程为.   4分
(Ⅱ) 设，；
直线与椭圆方程联立,  
化简并整理得.   5分
∴，,∴，
.……7分
∵，∴,即得 
∴，，即为定值.  9分
(Ⅲ) ∵，
∴直线的方程为.…………10分
令，则 
, 
∴ 11分
∴ 
当且仅当即时等号成立.
故的面积存在最大值.……………13分
(或: , 令，
则.  12分
当且仅当时等号成立，此时.
故的面积存在最大值.   13分 
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。