Question

已知函数f（x）=ax²+x+1（a∈R）
（Ⅰ）若a∈（0，

1

4

]，求解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0至少有一个负根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据方程的判别式对a分两种情况，分别由一元二次方程和不等式的解法，求出所求的不等式的解集；
（Ⅱ）分别考虑二次项系数a=0，a≠0，利用二次方程的根与系数关系分别检验方程根的存在情况，可求a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

4

时，方程

1

4

x²+x+1=0的△=1-4a=0，
则不等式

1

4

x²+x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；
当a∈（0，

1

4

]时，方程ax²+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是x=

-1± 1-4a

2a

，
ax²+x+1＞0的解集为：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
综上，不等式f（x）＞0的解集：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，
∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，
当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；
当a≠0时，方程的两个根设为：x₁，x₂，
则

△=1-4a≥0 x1+x2=- 1 a ＜0 x1•x2= 1 a ＞0

或

△=1-4a≥0 x1•x2= 1 a ＜0

解得，a＜0或0＜a≤

1

4

，
综上得，a的取值范围是：（-∞，

1

4

]．

点评：本题考查了一元二次方程和不等式的解法，及方程的根的存在情况的讨论，解题中不要漏掉a=0的考虑，另外还要注意：至少有一负根对方程根的个数的要求，考查了分类讨论思想．