Question

在平行四边形ABCD中有AC²+BD²=2（AB²+AD²），类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A ₁B₁C₁D₁ 中有AC₁²+BD₁²+CA₁²+DB₁²=

 

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Answer 1

考点：类比推理

专题：综合题,推理和证明

分析：根据平行六面体的性质，可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形，多次使用已知条件中的定理，再将所得等式相加，可以计算出正确结论．

解答： 解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，
因此，在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四边形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四边形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
将①代入④，再结合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故答案为：4（AB²+AD²+AA₁²）．

点评：此题主要考查学生对平行六面体的认识，对平行四边形的性质的理解和掌握，考查学生方程组的处理能力，属于中档题．