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    设n∈N*且n≥2,证明:(a1+a2+…+an)2=++…++2[a1(a2+a3+…+an)+a2(a3+a4+…+an)+…+an-1an].


    (1) 当n=2时,有(a1+a2)2=++2a1a2,命题成立.

    (2) 假设当n=k(k≥2)时,命题成立,

    即(a1+a2+…+ak)2=++…++2[a1(a2+a3+…+ak)+a2(a3+a4+…+ak)+…+ak-1ak]成立;

    那么,当n=k+1时,有(a1+a2+…+ak+ak+1)2=(a1+a2+…+ak)2+2(a1+a2+…+ak)ak+1+=++…++2[a1(a2+a3+…+ak)+a2(a3+a4+…+ak)+…+ak-1ak]+2(a1+a2+…+ak)ak+1+=++…+++2[a1(a2+a3+…+ak+ak+1)+a2(a3+a4+…+ak+ak+1)+…+akak+1],

    所以当n=k+1时,命题也成立.

    根据(1)和(2),可知命题对任意的n∈N*且n≥2都成立.


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