Question

【题目】设函数（，）.

（1）当时，在上是单调递增函数，求的取值范围；

（2）当时，讨论函数的单调区间；

（3）对于任意给定的正实数，证明：存在实数，使得

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，见解析 （3）证明见解析

【解析】

（1）利用即可求解。

（2）根据可把解析式化为，然后对函数求导，由于导函数中含有参数，故讨论参数的取值范围，即可求出单调区间。

（3）根据题干只需证明存在，故不妨先证时，，限制，利用不等式中的放缩法即可证出。

解：（1）当时，，

∴

∵在上单调递增

∴在上恒成立

∴恒成立，则

∴.

（2）∵

∴

∴

∴

①当时，令，得

的单调递增区间为

的单调递减区间为

②当时，令，得

的单调递增区间为

的单调递减区间为

③当时，令，

得，

当，即时，，∴在上单调递增

当，即时，

的单调递增区间为和；的单调递减区间为

当，即时，的单调递增区间为和；的单调递减区间为.

（3）易证：时，

限制

∴

∴

此时

令

取，则

故得证.