Question

设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数x、y都有；（2）当时，；（3）。则
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）如果不等式成立，求x的取值范围．
（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式有解，求正数的取值范围．

Answer 1

（1）2；（2）；（3）。

解：（Ⅰ）令易得．而
且，得．
（Ⅱ）设，由条件（1）可得，因，由（2）知，所以，即在上是递减的函数．
由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：其中，由函数在上的递减性，可得：，由此解得x的范围是．
（Ⅲ）同上理，不等式可化为且，
得，此不等式有解，等价于，在的范围内，易知，故即为所求范围．