Question

2．已知${（\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}）^n}$展开式中各项的二项式系数和为64．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）利用组合数的性质，即可求n的值；
（2）写出展开式中的通项，即可求展开式中的常数项．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}）^n}$展开式中各项的二项式系数和为64，
∴$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}=64$，∴n=6；…（4分）
（2）${T_{r+1}}=C_6^r{（\sqrt{x}）^{6-r}}{（\frac{1}{{\root{4}{x}}}）^r}=C_6^r{x^{3-\frac{3r}{4}}}$，…（7分）
当$3-\frac{3r}{4}=0$，即r=4时，${T_5}=C_6^4=15$为常数项．…（10分）

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．