Question

13．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π），则tan（3π+θ）=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出sinθ+cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ与cosθ的值，进而求出tanθ的值，原式利用诱导公式化简后代入计算即可求出值．

解答 解：把sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$①，两边平方得：（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，即2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$＞0，
∵θ∈（0，π），
∴sinθ＞0，cosθ＞0，即sinθ+cosθ＞0，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，即sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$②，
联立①②，解得：sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，
∴tanθ=$\frac{4}{3}$，
则原式=tanθ=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．