Question

已知函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任何实数x，y都成立．
（1）求证：f（2x）=2f（x）；
（2）求f（0）的值；
（3）求证f（x）为奇函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，令y=x，即可证得f（2x）=2f（x）；
（2）令y=x=0，即可求得f（0）=0；
（3）令y=-x，可证得f（-x）=-f（x），从而可证f（x）为奇函数．

解答： 证明：（1）∵（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x，得f（x+x）=f（x）+f（x），即f（2x）=2f（x）；
（2）令y=x=0，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
（3）证明：由已知得定义域为R．满足若x∈R，则-x∈R．
令y=-x，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（x）+f（-x）．
∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，考查函数的奇偶性的判定，属于中档题．