Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AD，A₁D₁的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A₁B₁C₁D₁上运动，则线段MN的中点P在二面角A-A₁D₁-B₁内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（　　）

• A、4π
• B、π
• C、

  3π

  2

• D、2π

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题

分析：连结FN、FP，根据题意可得到点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的一部分，从而利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答： 解：连结FN、FP，依题意可知△MFN中，MF⊥NF，
∵Rt△MFN中，斜边MN=2，∴FP=

1

2

MN=1，
由此可得点P在二面角A-A₁D₁-B₁内运动所形成的轨迹，
是以点F为球心、1为半径的球的

1

4

．
∴所求面积为S=

1

4

×4π×12=π．
故选：B

点评：本题给出正方体内的动点满足的条件，求它的轨迹形成的图形面积．考查了正方体的性质、球的几何结构特征及其体积的计算公式等知识，属于中档题．