Question

已知-

π

6

≤β＜

π

4

，3sin²α-2sin²β=2sinα，试求sin2β-

1

2

sinα的最小值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：由已知中-

π

6

≤β＜

π

4

，3sin²α-2sin²β=2sinα，我们可以判断出sinα的取值范围，进而利用同角三角形函数关系，再结合二次函数的性质和sinα的取值范围，即可得到答案．

解答： 解：由3sin²α-2sin²β=2sinα，可得sin²β=

3

2

sin²α-sinα，
∵-

π

6

≤β＜

π

4

，∴-

1

2

≤sinβ＜

2

2

，
∴0≤sin²β＜

1

2

，
∴0≤

3

2

sin²α-sinα＜

1

2

，
解得

2

3

≤sinα＜1，
∴sin2β-

1

2

sinα=

3

2

sin²α-

3

2

sinα=

3

2

(sinα-

1

2

)2-

3

8

，
∵

2

3

≤sinα＜1，
∴sinα=

2

3

时，sin2β-

1

2

sinα的最小值为-

1

3

．

点评：本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，其中根据已知条件判断出sinα的取值范围，是解答本题的关键．