Question

已知

a

=（4，3），

b

=（-1，2）
（1）求 

a

与

b

的角的余弦；
（2）若（

a

-λ

b

）⊥（2

a

+

b

），求λ；
（3）若（

a

-λ

b

）∥（2

a

+

b

），求λ．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平行向量与共线向量,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由向量

a

、

b

，求出它们所成的角的余弦值；
（2）求出向量

a

-λ

b

，2

a

+

b

的坐标表示，由（

a

-λ

b

）⊥（2

a

+

b

），得（

a

-λ

b

）•（2

a

+

b

）=0，求出λ的值；
（3）由（

a

-λ

b

）∥（2

a

+

b

），得8（4+λ）-7（3-2λ）=0，求出λ的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（4，3），

b

=（-1，2），
∴

a

与

b

所成的角的余弦为
cosθ=

a • b

| a |×| b |

=

4×(-1)+3×2

42+32 × (-1)2+22

=

2 5

25

；
（2）∵

a

-λ

b

=（4+λ，3-2λ），
2

a

+

b

=（7，8），
且（

a

-λ

b

）⊥（2

a

+

b

），
∴（

a

-λ

b

）•（2

a

+

b

）=7（4+λ）+8（3-2λ）=0，
解得λ=

52

9

；
（3）∵（

a

-λ

b

）∥（2

a

+

b

），
∴8（4+λ）-7（3-2λ）=0，
解得λ=-

1

2

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，利用平面向量求夹角，判定平行与垂直，是常见的问题，是基础题．