Question

已知向量

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（1）求k的值；
（2）求F（x）的单调区间及最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由向量共线的坐标运算得到函数f（x）的解析式，求导后由在x=1时的导数值等于0得到k的值；
（2）对F（x）=xe^xf′（x）求导，由导函数的符号得到F（x）的单调区间，可得函数的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，
则e^xf（x）=lnx+k，∴f（x）=

lnx+k

ex

，
∴f′（x）=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知f′（1）=0，∴k=1．
（2）F（x）=1-xlnx-x．
∴F′（x）=-lnx-2．
由F′（x）=-lnx-2≥0，解得：0＜x≤

1

e2

．
由F′（x）=-lnx-2≤0，解得x≥

1

e2

．
∴F（x）的增区间为（0，

1

e2

]，减区间为[

1

e2

，+∞），
∴x=

1

e2

时，F（x）取得最大值1+

1

e2

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了向量共性的坐标表示，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是高考试卷中的压轴题．