Question

16．已知函数解析式为f（x）=4•9^x+3^x+2．
（1）若已知函数f（x）的定义域为（-1，1），求函数f（x）的值域；
（2）若已知函数f（x）的值域为[7，+∞），求f（x）的定义域．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，设3^x=t，则t∈（$\frac{1}{3}$，3），根据二次函数的性质，即可求出函数的值域；
（2）根据函数的值域得到4t²+t+2≥7，再根据指数函数的性质解得即可．

解答 解：（1）设3^x=t，则t∈（$\frac{1}{3}$，3），
则f（t）=4t²+t+2，
因为f（t）的对称轴为x=-$\frac{1}{8}$，
所以f（t）在∈（$\frac{1}{3}$，3）为增函数，
因为f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{25}{9}$，f（3）=41，
所以函数f（x）的值域为（$\frac{25}{9}$，41）；
（2）由（1）知，函数f（x）的值域为[7，+∞），
则f（t）的值域为[7，+∞），
所以4t²+t+2≥7，
解得t≥1，
所以3^x≥1，
所以x≥0，
故函数的定义域为[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域和值域的求法，以及指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．