Question

5．若f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（${\frac{1}{2}}$）=e，则f（lnx）＜x²的解集为（0，$\sqrt{e}$]．

Answer 1

分析 由题意可构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，判断g（x）的单调性为R上增函数，所求不等式可转化$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，g'（x）=$\frac{f'（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$＞0；
∴g（x）在R上是增函数，又e^2lnx=x²；
∴g（$\frac{1}{2}$）=1；
所求不等式?$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1?g（lnx）＜g（$\frac{1}{2}$），lnx＜$\frac{1}{2}$；
故可解得：x∈（0，$\sqrt{e}$]．
故答案为：（0，$\sqrt{e}$]

点评 本题主要考查了构造新函数，判断函数的单调性以及转化思想应用，属中等题．