Question

15．已知函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$ax²（a∈R）．
（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax³+x-（a-1）x的图象上方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；
（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax³+x²-（a-1）x的图象上方，即xe^x-ax＞ax³+x²-（a-1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 e^x-ax²-x-1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

解答 解：（I）f'（x）=xe^x-ax=x（e^x-a）
当a≤0时，e^x-a＞0，∴x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．
（i） 当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（-∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；       
（ii） 当a=1时，lna=0，f'（x）=xe^x-ax=x（e^x-1）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无减区间；      
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（-∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；
当a=1时，f（x）的单调增区间是（-∞，+∞），无减区间．
（II）由（I）知f'（x）=xe^x-ax
当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax³+x²-（a-1）x的图象上方；
即xe^x-ax＞ax³+x²-（a-1）x对x∈（0，+∞）恒成立；
即 e^x-ax²-x-1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；          
记 g（x）=e^x-ax²-x-1（x＞0），
∴g'（x）=e^x-2ax-1=h（x）；∴h'（x）=e^x-2a；
（i） 当$a≤\frac{1}{2}$时，h'（x）=e^x-2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）＞g'（0）=0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；                        
（ii） 当$a＞\frac{1}{2}$时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；
∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；
∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；
∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，
∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；  
综上可得a的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等偏上题型．