Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先将f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得：-

a

4

(x1-x2)2＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
显然f（0）=-2，对称轴x=-

2

a

＜0．
①当-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此时M（a）取较大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a +2

＞-1．
②当-2-

4

a

≥-4，即a≥2时，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此时M（a）取较小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

，
∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．当且仅当a=2时，取等号．
∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．