Question

11．已知$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}]$为矩阵A=$[{\begin{array}{l}1&a\\{-1}&4\end{array}}]$属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

Answer 1

分析 由条件可知$[{\begin{array}{l}1&a\\{-1}&4\end{array}}][\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}]=λ[\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}]$，可得方程组，即可求实数a，λ的值及A²．

解答 解：由条件可知$[{\begin{array}{l}1&a\\{-1}&4\end{array}}][\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}]=λ[\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2+a=2λ\\-2+4=λ\end{array}\right.$，解得a=λ=2． …（5分）
因此$A=[{\begin{array}{l}1&2\\{-1}&4\end{array}}]$，所以${A^2}=[{\begin{array}{l}1&2\\{-1}&4\end{array}}][{\begin{array}{l}1&2\\{-1}&4\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{-1}&{10}\\{-5}&{14}\end{array}}]$．   …（10分）

点评 本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．