Question

在数列{a_n}中，a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

．
（1）设b_n=

an

n

，求b_n+1-b_n
（2）求数列{b_n}的通项公式
（3）求数列{2n-a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，由此能推导出b_n+1-b_n=

1

2n

．
（2）由累加法得b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n+1

=2-

1

2n-1

（n≥2），由此能求出b_n=2-

1

2n-1

．
（3）由（2）知a_n=2n-

n

2n-1

，2n-a_n=

n

2n-1

，由此利用裂项求和法能求出数列{2n-a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}，a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

，
∴由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，
即b_n+1=b_n+

1

2n

，从而b₂=b₁+

1

2

，
b₃=b₂+

1

22

，
b_n=b_n-1+

1

2n-1

，（n≥2）．
∴b_n-b_n-1=

1

2n-1

，（n≥2）．
∴b_n+1-b_n=

1

2n

．
（2）b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n+1

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2-

1

2n-1

．
（3）由（2）知a_n=2n-

n

2n-1

，2n-a_n=

n

2n-1

，
故S_n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
①-②得，

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查b_n+1-b_n的求法，考查数列{b_n}的通项公式的求法，考查数列{2n-a_n}的前n项和S_n的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．