Question

【题目】

在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是的中点，作交于.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）连接，与交于，连接，由中位线可得，根据线面平行的判定定理可证得平面；

（Ⅱ）由底面可证得，又因为是正方形，根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可得，根据等腰三角形中线即为高线可得，根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可得，又，可得平面；

（Ⅲ）以点为坐标原点建立空间直角坐标系.，设，可得各点的坐标，从而可得各向量坐标，根据向量垂直数量积为0，可得面和面的法向量.根据数量积公式可得两法向量夹角的余弦值，可得两法向量夹角，两法向量夹角与二面角相等或互补，由观察可知所求二面角为锐角.

解：（Ⅰ）连接，与交于，连接

∵是正方形，∴则为的中点

∵是的中点，

∴

∵平面，平面

∴平面

（Ⅱ）∵底面，平面

∴

∵，

∴平面

∵平面，

∴

∵是的中点，

∴

∵

∴平面

而平面，

∴

又，

∴平面

（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设.

则.

设平面的法向量是，则，

所以，，即

设平面的法向量是，则

所以，，即.

∴，即面角的大小为.