Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线为曲线的切线，求证：直线与曲线不可能有2个切点.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先确定函数定义域和导函数；令，得到；当时，，得到函数单调递增；当时，分为两根都小于零和都大于零两种情况，根据导函数的符号得到原函数的单调区间；（2）采用反证法，假设可能有个切点；分别列出在两个切点的切线方程，根据方程相同可建立方程组，整理可得；令，构造函数，可利用导数求得，等式不成立，从而得到假设错误，证得结论.

（1）由题意得：定义域为，

令，则

若，则，则，

函数在上单调递增；

若或，有两个零点，，则

其中，；

若，则，，此时

故函数在上单调递增；

若，则，

此时当和时，，当时，

函数在和上单调递增，在上单调递减

综上所述：当时，函数的单调递增区间为；

当时，单调递增区间为，；单调递减区间为

（2）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同切点，

不妨令

则处切线的方程为：

处切线的方程为：

为同一直线

即，整理得：

消去得：…①

令，由与得：

记，则

为上的单调减函数

从而①式不可能成立，即假设不成立

若直线为曲线的切线，则直线与曲线不可能有个切点