Question

【题目】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先证明面得到，再证明得到平面.

（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式得到答案.

解：（Ⅰ）

由已知平面，可得，，

由题意得，为直角梯形，如图所示，

，所以为平行四边形，

所以，所以.

又因为，且，

所以面，

故.

在直角梯形中，，

因为面，所以，

所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，

所以.且，

所以平面

（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.

不妨设

，，，，

设是平面的法向量.

满足 ，

所以 ，

则令 ，解得

法二：（等体积法求到平面的距离）

设，计算可得

， ， ，

，

解得