Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），若?x₀，x∈I，总有f（x）≥f（x₀）+f′（x₀）（x-x₀）成立，则称y=f（x）为区间I上的U函数．在下列四个函数y=x²，y=x+

1

x

，y=-e^x，y=cos2x中，在区间（-1，0）上为U函数的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：将不等式进行转化，利用导数的几何意义以及割线的几何意义，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：不妨设x＞-x₀，则由f（x）≥f（x₀）+f′（x₀）（x-x₀）
得f（x）-f（x₀）≥f′（x₀）（x-x₀），
即

f(x)-f(x0)

x-x0

）≥f′（x₀），
则不等式的几何意义为x与x₀处的割线斜率大于对应切线斜率，
则等价为函数单调递增，
则四个函数中只有y=cos2x在（-1，0）上单调递增，满足条件，
故选：A．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义，转化为割线和切线斜率之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．