Question

16．若函数f（x）=kx+lnx在区间（2，+∞）上单调递减，则k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}}$]
• B． （-∞，-1]
• C． [${\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 令f′（x）=k+$\frac{1}{x}$≤0在（2，+∞）上恒成立得k≤-$\frac{1}{x}$，求出右侧函数的最小值即可得出k的范围．

解答 解：f′（x）=k+$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴f′（x）=k+$\frac{1}{x}$≤0在（2，+∞）上恒成立，
即k≤-$\frac{1}{x}$在（2，+∞）上恒成立．
令y=-$\frac{1}{x}$，则y=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上为增函数，
∴当x=2时，y=-$\frac{1}{x}$取得最小值-$\frac{1}{2}$．
∴k≤-$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．