Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4sinAsinB-4cos²$\frac{A-B}{2}$=$\sqrt{2}$-2．
（1）求角C的大小；
（2）已知$\frac{asinB}{sinA}$=4，△ABC的面积为8．求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式化简可得cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合角的范围即可求得C的大小．
（2）由已知及正弦定理求得b，又 S_△ABC=8，C=$\frac{π}{4}$从而解得a，由余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）由条件得4sinAsinB=2（2cos²$\frac{A-B}{2}$-1）+$\sqrt{2}$，
即4sinAsinB=2cos（A-B）+$\sqrt{2}$=2（cosAcosB+sinAsinB）+$\sqrt{2}$，…（2分）
化简得cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∵0＜A+B＜π，
∴A+B=$\frac{3π}{4}$，
又A+B+C=π，
∴C=$\frac{π}{4}$，…（6分）
（2）由已知及正弦定理得b=4，…（8分）
又 S_△ABC=8，C=$\frac{π}{4}$，∴$\frac{1}{2}$absinC=8，得a=4$\sqrt{2}$，…（10分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得c=4．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．