Question

10．已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上存在一点P，使使|PA|+|PB|最小，则
（1）点P的坐标为P$（\frac{8}{3}，3）$；
（2）|PA|+|PB|的最小值为5$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）设点A（-3，5）关于直线l：3x-4y+4=0的对称点为A′（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b+5}{2}+4=0}\end{array}\right.$，解得A′．可得直线A′B的方程，与l的方程联立即可解出P；
（2））|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．

解答 解：（1）设点A（-3，5）关于直线l：3x-4y+4=0的对称点为A′（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b+5}{2}+4=0}\end{array}\right.$，解得A′（3，-3）．
直线A′B的方程为：18x+y-51=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+4=0}\\{18x+y-51=0}\end{array}\right.$，解得P$（\frac{8}{3}，3）$．
（2））|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=$\sqrt{{1}^{2}+1{8}^{2}}$=5$\sqrt{13}$．
故答案分别为：$（\frac{8}{3}，3）$；5$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．