Question

18．如图，已知矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒75颗黄豆，数得落在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1外的黄豆数16颗，现随机向椭圆内丢一粒豆子，则豆子落在菱形（菱形顶点为椭圆的顶点）区域内的概率为$\frac{75}{118}$．

Answer 1

分析 由题意，本题符合几何概型的求法，利用面积比等于区域内的豆子数的比得到所求．

解答 解：由题意，豆子落在阴影部分的数量与全部数量的比值恰好是阴影部分的面积与矩形的面积比，所以$\frac{椭圆面积}{矩形面积6×4}=\frac{75-16}{75}$，得到椭圆面积为$\frac{59×24}{75}$，
豆子落在菱形（菱形顶点为椭圆的顶点）区域内的概率为菱形的面积与椭圆面积的比为$\frac{\frac{1}{2}×6×4}{\frac{59×24}{75}}=\frac{75}{118}$；
故答案为：$\frac{75}{118}$．

点评 本题考查了几何概型；其概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据概率公式解答．