Question

7．定义在R上的函数f（x）对任意x₁、x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当1≤s≤4时，$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范围是（　　）

• A． [-3，-$\frac{1}{2}$）
• B． [-3，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-5，-$\frac{1}{2}$）
• D． [-5，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）便得到，s²-2s≥t²-2t，将其整理成（s-t）（s+t-2）≥0，画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域．设$\frac{t-2s}{s+t}=z$，所以得到t=$\frac{z+2}{1-z}s$，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范围．

解答 解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；
∴由f（s²-2s）≤-f（2t-t²）得：
s²-2s≥t²-2t；
∴（s-t）（s+t-2）≥0；
以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域，如图所示：
即△ABC及其内部，C（4，-2）；
设$\frac{t-2s}{s+t}=z$，整理成：$t=\frac{2+z}{1-z}s$；
${k}_{OC}=-\frac{1}{2}，{k}_{AB}=1$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{2+z}{1-z}≤1$，解得：$-5≤z≤-\frac{1}{2}$；
∴$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范围是[$-5，-\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．