Question

19．如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a₁，a₂，…，a_n，第二行填入的数字依次为b₁，b₂，…，b_n．
记${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\;|{a_1}-{b_1}|+|{a_2}-{b_2}|+…+|{a_n}-{b_n}|$．

a1	a2	…	an
b1	b2	…	bn

（Ⅰ）当n=3时，若a₁=1，a₂=3，a₃=5，写出S₃的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数n．试给出a₁，a₂，…，a_n的一组取值，使得无论b₁，b₂，…，b_n填写的顺序如何，S_n都只有一个取值，并求出此时S_n的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，S_n的所有取值的奇偶性相同．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据新定义计算即可，
（Ⅱ）a_i=i（i=1，2，…，n），则无论b₁，b₂，…，b_n填写的顺序如何，都有${S_n}={n^2}$，根据新定义求出即可，
（Ⅲ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的S_n的值不变，不妨设a_i＞b_i，记$A=\sum_{i=1}^n{a_i}$，$B=\sum_{i=1}^n{b_i}$，求出S_n=A-B，即可证明，
方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k都位于同一行，②若在两种填法中k位于不同行，即可证明

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a₂=3，a₃=5，
∴b₁，b₂，b₃值为2，4，6
∴S₃=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|=|1-b₁|+|3-b₂|+|5-b₃|，
∴S₃的所有可能的取值为3，5，7，9．
（Ⅱ） 令a_i=i（i=1，2，…，n），则无论b₁，b₂，…，b_n填写的顺序如何，都有${S_n}={n^2}$．
因为 a_i=i，
所以 b_i∈{n+1，n+2，…，2n}，（i=1，2，…，n）．
因为 a_i＜b_i（i=1，2，…，n），
所以 ${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\sum_{i=1}^n{（{b_i}-{a_i}）}=\sum_{i=1}^n{b_i}-\sum_{i=1}^n{a_i}=\sum_{i=n+1}^{2n}i-\sum_{i=1}^ni={n^2}$．
注：{a₁，a₂，…，a_n}={1，2，…，n}，或{a₁，a₂，…，a_n}={n+1，n+2，…，2n}均满足条件．
（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的S_n的值不变．
不妨设a_i＞b_i，记$A=\sum_{i=1}^n{a_i}$，$B=\sum_{i=1}^n{b_i}$，其中i=1，2，…，n．
则 ${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\sum_{i=1}^n{（{a_i}-{b_i}）}=\sum_{i=1}^n{a_i}-\sum_{i=1}^n{b_i}=A-B$．
因为 $A+B=\sum_{i=1}^{2n}i=\frac{2n（2n+1）}{2}=n（2n+1）$，
所以 A+B与n具有相同的奇偶性．
又因为 A+B与A-B具有相同的奇偶性，
所以 S_n=A-B与n的奇偶性相同，
所以 S_n的所有可能取值的奇偶性相同．
解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的S_n的值不变．
考虑如下表所示的任意两种不同的填法，${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，${S'_n}=\sum_{i=1}^n{|{{a'}_i}-{{b'}_i}|}$，不妨设a_i＜b_i，a'_i＜b'_i，其中 i=1，2，…，n．

a1	a2	…	an		${a_1}^′$	${a_2}^′$	…	${a_n}^′$
b1	b2	…	bn		${b_1}^′$	${b_2}^′$	…	${b_n}^′$

${S_n}+{S'_n}=\sum_{i=1}^n{（{b_i}-{a_i}）}+\sum_{i=1}^n{（{{b'}_i}-{{a'}_i}）}=（\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}）-（\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}）$．
对于任意k∈{1，2，…，2n}，
①若在两种填法中k都位于同一行，
则k在S_n+S'_n的表达式中或者只出现在$\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}$中，或只出现在$\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}$中，且出现两次，
则对k而言，在S_n+S'_n的结果中得到±2k．
②若在两种填法中k位于不同行，
则k在S_n+S'_n的表达式中在$\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}$与$\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}$中各出现一次，
则对k而言，在S_n+S'_n的结果中得到0．
由 ①②得，对于任意k∈{1，2，…，2n}，S_n+S'_n必为偶数．
所以，对于表格的所有不同的填法，S_n所有可能取值的奇偶性相同．

点评 本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题．