Question

【题目】已知函数 的最大值是0，函数 ．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到关于m的方程，进而求出m的值；

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x），求出函数的导函数，进而求出的导函数，利用导数与函数单调性的关系，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合函数恒成立问题，进而求出a的取值范围.

（Ⅰ）函数的定义域为

,

因为，所以在上单调递减.

令，得

当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以，当时，=

于是，，得 ,

易知，函数在处有唯一零点，所以，．

（Ⅱ）令，

则,

设

则,

①当时，，在上单调递减，

则时，，在上单调递减，

故当时，，与已知矛盾.

②当时，

当时，，在上单调递减，

则时，

故在上单调递减，

则当时，，与已知矛盾.

③当时，，在上单调递增，

则时，

所以在上单调递增，故当时，恒成立．

综上，实数的取值范围是．