Question

12．（1）计算$\int_1^2$（$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$+$\frac{1}{x^2}$）dx；
（2）求由曲线y=$\sqrt{x}$，y=2-x，y=-$\frac{1}{3}$x所围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据定积分的计算法则计算即可，
（2）求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数在区间[0，3]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．

解答 解：（1）算$\int_1^2$（$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$+$\frac{1}{x^2}$）dx=（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）|${\;}_{1}^{2}$=2$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$；
（2）画出草图，如图所示．

解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得交点分别为（1，1），（0，0），（3，-1）．
所以S=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$-（-$\frac{1}{3}$x）]dx+${∫}_{1}^{3}$[（2-x）-（-$\frac{1}{3}$x）]dx=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$x）]dx+${∫}_{1}^{3}$（2-$\frac{2}{3}$x）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{1}{6}$x²）|${\;}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{3}$x²）|${\;}_{1}^{3}$=$\frac{5}{6}$+6-3-3+$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{6}$．

点评 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．