Question

2．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）要使函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，
即x²=1，则=±1，即定义域为{1，-1}，
则f（x）=0，即函数f（x）既是奇函数又是偶函数；
（2）由4-x²≥0得-2≤x≤2，
此时f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x+3-3}$=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$，
则函数的定义域为[-2，0）∪（0，2]．
此时f（-x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），
则函数为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称．