Question

（本小题12分）如图7，已知圆，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上.

（1）当在内变化时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知定点P（-1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2 . 求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点。

Answer 1

（1）；（2） .

【解析】

试题分析：（1）设M（x，y），则AM的中点．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出点M的轨迹E的方程．

（2）设的坐标分别为，其中且．由共线得； 由Q，M，M2共线得，可得t1t2=﹣，t1+t2=，求出直线M1M2的方程，即可得出结论．

试题解析：（1）设M（x，y），则AM的中点．

因为C（1，0），，

在⊙C中，因为CD⊥DM，所以．

所以，点M的轨迹E的方程为：．

（2）设M，M1，M2的坐标分别为，其中且．

由P，M，M1共线得；

由Q，M，M2共线得．

∴t1t2=﹣，t1+t2=

∴直线M1M2的方程为，即t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，

∴，

∴x=﹣1，y=﹣4，

∴直线M1M2恒过一个定点．

考点：圆锥曲线的轨迹问题..