Question

11．已知函数f（x）=|tx-2|-|tx+1|，a∈R．
（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$≤m．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；
（2）根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）t=1时，f（x）=|x-2|-|x+1|，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3，x＜-1\\-2x+1，1≤x＜2\\-3\end{array}\right.$，
所以f（x）≤1，
故不等式的解集为[0，+∞）
（2）由绝对值不等式得||tx-2|-|tx+1|≤|（tx-2）-（tx+1）||=3，
所以f（x）最大值为3，故m=3，
故$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{1•a}$+$\sqrt{1•b}$+$\sqrt{1•c}$
≤$\frac{1+a}{2}$+$\frac{1+b}{2}$+$\frac{1+c}{2}$=$\frac{3+a+b+c}{2}$=3，
当且仅当a=b=c=1时等号成立，
故原结论成立．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．